Óvissa á fordæmalausum tímum

eftir Daníel Freyr Hjartarson

Okkur þykir flestum óvissa óþægileg. Við viljum helst fá skýr svör og það strax. Hvenær lýkur þessu ástandi? Hvenær verður samkomubanninu aflétt? Hvað munu margir sýkjast af Kóróna-veirunni? Þessar og margar aðrar spurningar eru á vörum flestra á þessum.. fordæmalausu tímum. Raunin er því miður sú að það veit engin svarið við þessum spurningum fyrir víst, því þau ráðast að miklu leyti af hegðun okkar allra næstu vikur og mánuði.

Við erum komin á tímapunkt í útbreiðslu Kóróna-veirunnar að yfirvöld, sem og aðrir, eru farin að þora að spá fyrir um ýmislegt tengt útbreiðslu veirunnar. Hvenær má til dæmis búast við að hún verði í hámarki hér á landi? Landlæknisembættið er til dæmis með eitt slíkt spálíkan, sem fjallað er um t.d. hér og hér.

Í ljósi aðstæðna, langaði mig að stikla á mjög stóru um það hvernig svona spár eru gerðar. Á hverju þær byggja og hversu áreiðanlegar spárnar raunverulega eru. Getum við mögulega dregið einhvern lærdóm af því að skoða svona spálíkan?

Áður en við förum að skoða tölur og setja upp líkan af aðstæðum skulum við aðeins ræða það hvernig veirur dreifa sér og hvernig svona faraldrar hegða sér, í mjög einfaldaðri mynd. Það er vert að taka fram á þessum tímapunkti að höfundur er alls enginn sérfræðingur í sóttvörnum, veirufræðum eða neinu slíku, heldur aðeins áhugamaður um líkanagerð. Þessi pistill er aðeins til fróðleiks og yndisauka. Niðurstöður hér að neðan ber að taka með miklum fyrirvara og er alls ekki ráðgefandi með neinu móti.

Byrjum að skoða einfaldaða mynd af því hvernig Kóróna-veiran dreifist manna á milli. Eins og fram hefur komið dreifist veiran með svokölluð dropasmiti. Það er að segja, það er til dæmis hægt að smitast af veirunni með því að umgangast annað fólk sem er smitað. Skoðum, sem dæmi, einfalt 25 manna samfélag. Skoðum hvernig veiran getur ferðast um í þessu einfalda samfélagi. Við táknum þetta einfaldaða samfélag sem 25 aðila sem hver um sig hefur ákveðið sæti og geta því aðeins smitað nágranna sína. Í upphafi er einn sjúklingur sem er smitaður af Kóróna-veirunni (rauðmerktur). Enginn í þessu einfalda samfélagi er var við veiruna svo líf allra gengur sinn vana gang, fara í búðina, sund og hvað eina, það er að segja, þeir skipta um sæti, eða flakka sín á milli (endurraða sér).

Mynd 1. Samfélagslíkanið í upphafi.

Hver sjúklingur í þessu samfélagslíkani okkar getur smitað um það bil tvo aðra sem eru nálægt hinum. Þetta er einskonar hermun á því hvernig dropasmitið virkar. Þessi smitfjöldi sem við skoðum hér hefur ekkert með Kóróna-vírusinn að gera. Með þetta einfaldaða líkan í huga gætu smitin í þessu samfélagi dreifst eins og sýnt er á mynd 2 (hreyfimynd).

Mynd 2. Sýnidæmi um það hvernig smit gæti dreifst um samfélagslíkan. 

Ef mynd 2 er skoðuð vandlega, kemur í ljós að undir lokin eru allir í samfélaginu smitaðir, það er að segja veiran getur ekki dreifst frekar. Í þessu líkani smitast allir í samfélaginu, en í raunveruleikanum þarf það ekkert að vera raunin. Það er til að mynda hægt að koma í veg fyrir það með að einangra ákveðna hópa eða einstaklinga á meðan faraldur gengur yfir, en eins og áður sagði er þetta einfaldað líkan. 

Líkanið sem við skoðum í þessari grein er er þekkt stærðfræðilegt líkan og er kallað “logistics function” eða “population growth” á ensku. Án þess að ætla að ræða stærðfræðina í þaula langar mig allavega að setja fram jöfnuna sem um ræðir:

Þar sem P(t) er heildarfjöldi smitaðra á tíma t, þar sem t lýsir fjölda daga og fastarnir K, r og P0 lýsa eftirfarandi atriðum um veiruna.

K: Fasti sem segir til um hámarks fjölda sýkra.

r: Fasti sem lýsir sýkingarhraða veirunar.

P_0: Fasti sem segir til um hversu margir eru sýktir í upphafi.

Ef við berum þetta líkan saman við einfaldaða samfélagslíkanið okkar hérna að ofan sjáum við á mynd 3 heildarfjölda sýktra á hverjum degi. Ef við mátum síðan stærðfræði líkanið við fáum við út fastanna

K = 25 ± 4

r = 1.5 ± 0.7

P_0 = 1 ± 1.3

Þetta stemmir ágætlega við það sem við sáum, það eru um það bil 25 manns sem fengu veiruna (K = 25). Hver einstaklingur smitar um það bil 2 á dag (r = 1.5) og í upphafi var einn smitaður (P_0 = 1 ± 1.3). Líkanið sést ásamt mælingum á mynd 3. Eins og áður sagði er þetta einfalt líkan og sjálfsagt eru til flóknari líkön sem fanga útbreiðslu smitsjúkdóma enn betur, en með þessu líkani ættum við að geta fengið grófa mynd um það hvernig veiran kemur til með að hegða sér á Íslandi.

Mynd 3. Yfirlit heildarfjölda smitaðra fyrir einfaldaða samfélagslíkanið.

Nú eru gögn um útbreiðslu Kóróna-veiruna aðgengileg á upplýsingasíðu landlæknis (covid.is). Þar getum við sótt upplýsingar um fjölda smitaðra og borið saman við líkanið  sem við vorum að setja upp. Þegar við sækjum fjölda smitaðra fást tölurnar sem sjást á mynd 4.

Mynd 4. Heildarfjöldi smitaðra á Íslandi, þegar þessi grein er skrifuð. Gögn fengin af covid.is.

Líkt og með sýnidæmið okkar getum við nú mátað stærðfræði líkanið við þessar mældu niðurstöður og vonandi fengið einhverjar frekari upplýsingar um það hvernig útbreiðsla veirunnar verður á Íslandi. Mátun slíks líkans sést á mynd 5. Ef myndin er skoðuð sést að líkanið passar þokkalega vel við mælingarnar og lofar mjög góðu. Það er þó annað sem kemur í ljós ef við skoðum grafið á aðeins stærri kvarða. Líkanið sést á öðrum kvarða á mynd 6.

Mynd 5. Líkan mátað við gögn um heildarfjölda smita á Íslandi. Gögn fengin af covid.is.
Mynd 6. Mjög einfalt spálíkan um útbreiðslu veirunar á Íslandi. Gögn fengin af covid.is.

Það sem vekur upp óhug við að sjá þessa spá er að sjá að allir á landinu munu sýkjast. Það er eðlilegt fyrir þetta einfalda líkan sem verið er að skoða hér. En þetta verður þó aldrei raunin. Í fyrsta lagi eru enn til mjög lítið af gögnum, sem gerir það að verkum að við höfum litlar forsendur (með þessu líkani allavega) til þess að spá fyrir um hve margir í heildina munu smitast. Í öðru lagi er líkanið ekki að taka inn í myndina að smitaðir eru settir í sóttkví eða einangrun og svo mætti lengi telja. Til þess að spá fyrir um heildarfjölda sem smitast þyrftum við annað hvort að bíða eftir fleiri gögnum eða að máta líkanið við gögn frá öðrum svæðum sem eru komin lengra í ferlinu en við. Þá ber helst að nefna Ítalíu eða Kína. Það er að segja, það fylgir þessu líkani enn talsverð óvissa, það sést vel á mynd 7, þar sem við sjáum líkanið sett fram með óvissusvæðum (skyggð með bleiku).

Það að nota gögn milli landa getur hins vegar verið varhugavert, enda aðgerðir stjórnvalda mismunandi eftir löndum og hegðunarmynstur fólks mismunandi sömuleiðis. Í ákveðnum löndum eru handabönd og kossar kannski algengari en annarsstaðar og því breiðast smit út hraðar þar en í hinum löndunum. Umhverfið er sömuleiðis mismunandi milli landa og svona mætti lengi telja upp dæmi sem gætu haft áhrif á það hvernig útbreiðsla veirunnar er í mismunandi löndum. 

Mynd 7. Einfalt spálíkan um útbreiðslu Kóróna-veirunar á Íslandi með óvissumörkum.

Eins og áður sagði, er líkanið sem hér er notað of einfalt til þess að það sé nothæft til að spá fyrir um heildarfjölda smitaðra, miðað við þau gögn sem við búum yfir að svo stöddu. Við gætum sótt gögn frá öðrum löndum og fengið þannig frekari upplýsingar, en það getur verið varhugavert vegna mismunandi hegðunarmynstur og ytri aðstæður milli landa. Þess vegna leyfum við sérfræðingunum hjá Embætti landlæknis að gera það, þeir taka þá væntanlega tillit til þessara ólíku aðstæðna. Óvissan sem er í þessu einfalda líkani er hins vegar talsverð, margir sem vinna með gögn og tölur yrðu líklega ekki sáttir við þessa óvissu. 

En hvað getum við lesið úr þessari óvissu og hvað getum við lært af henni? Þessi óvissa gefur til kynna að allt getur enn gerst. Einmitt þess vegna er ótrúlega mikilvægt að við fylgjum, öll sem eitt, fyrirmælum sóttvarnarlæknis, yfirvalda og sérfræðinga í þessum málum. Það eru ákveðnar aðgerðir eins og félagsleg fjarlægð sem hafa sýnt sig að virka í baráttunni gegn þessari veiru, en þær virka ekki nema við tökum öll þátt!

Með því að skoða gerð spálíkans sem þessa, er það von mín að geta varpað smá ljósi á þá flóknu stöðu sem yfirvöld eru í. Þetta er virkilega erfið staða sem yfirvöld eru í og vandasamt að spá fyrir um það hvenær þessum faraldri mun ljúka, hve margir munu smitast og hverjar afleiðingarnar verða. Eflaust er það ekki svar sem margir eru sáttir við, en svarið við þessum spurningum er einfaldlega að það er algjörlega háð því hversu vel við fylgjum fyrirmælum, virðum skipun um sóttkví, þvoum okkur um hendurnar, höldum góðri fjarlægð á milli okkar og virðum öll önnur fyrirmæli frá sérfræðingum.

Daníel Freyr Hjartarson

Stjórn & vefstjóri

Daníel Freyr er útskrifaður verkfræðingur af sviði stýri- og reglunartækni við tækniháskólann í Delft, Hollandi. Hann hefur einnig lokið B.Sc. gráðu í vélaverkfræði og tölvunarfræði frá Háskóla Íslands. Samhliða námi tók Daníel þátt í að hanna og smíða rafknúinn kappakstursbíl með Team Spark. Daníel er áhugamaður um hjólreiðar, tölvur og tækni. Hann sér um öll tækni- og vefmál Róms.